A nevét viselő, világhírű táncegyüttese 1937 februárjában alakult. Mojszejev sokat küzdött a ”felkent" szakértőkkel, hogy érvényesíthesse elképzelését - a cselekményesség erőteljes kifejezését a táncban, továbbá a néptánc és az akadémikus balett elemeinek ötvözését -, de táncosaival is, amíg kialakította saját stílusukat. Első műsoruk, „A Szovjetunió népeinek tánca" azonnal ismertté tette őket. Később következtek a cselekményes balettek, az eltáncolt életképek. Az egyedülálló műfaj, a szcenikus néptánc sok gyötrelmes munka során alakult ki. Különleges képességű és képzettségű táncosokra volt szükség hozzá, s az utánpótlás biztosítására 1943-ban az együttes táncstúdiót alakított. Az együttesbe kerülni rang volt, Mojszejev maga válogatott a jelentkezők között, nagy hangsúlyt fektetve az alkalmasságra, tehetségre, s a lányok esetében a szépségre is.
Mojszejev Jubileumi Turné - Igor MojszejevIgor Mojszejev művészetét számos rangos kitüntetéssel díjazták. A Szovjetunió Népművésze, többszörös Állami-díjas, a Lenin-rend birtokosa volt, megkapta a Dance Magazine díját és az amerikai tánc-Oscart, a Francia Nemzetgyűlés tiszteletbeli tagjává választotta, és Magyarországon is kitüntették. Századik születésnapja alkalmából Vlagyimir Putyin orosz államfő Igor Mojszejevet lakásán kereste fel, hogy átadja neki a legújabb kitüntetést. 2007 novemberében halt meg, 101 évesen, de a társulat azóta is világszerte aratja sikereit.
A mintegy 300 műsort színpadra vitt társulat egyedülálló stílusa olyan, azóta világhírnévre szert tett táncművész munkásságára volt hatással, mint Michael Flatley, vagy a török Mustafa Erdogan. Mojszejevéket mindig a tökéletes felkészültség, a gazdag koreográfia, virtuozitás, a zene, valamint a stilizált népviseletek nyújtotta káprázatos látvány összhangja jellemezte, jellemzi. Az együttes több mint hatvan országban járt már és több mint százhatvan külföldi turnét tudhat maga mögött. Budapesten 1946 óta tizenkét alkalommal szerepelt nagy sikerrel, legutóbb 2009-ben.
A 2012-es évre a Mojszejev egy igazán különleges műsorral igyekszik majd megünnepelni fennállásának 75. évfordulóját. A jeles dátumra és apropóra való tekintettel a Társulat szemet gyönyörködtető koreográfiákkal kecsegtető speciális műsora a világ számos pontjára jut majd el. A közép-európai tavaszi turné Magyarországra is elérkezik 2012 márciusában a tánc szerelmeseinek nagy örömére.
